MATEMATIKA

by Karen Christy Pongtengko 00.08 0 komentar

BAB 1 

BILANGAN PANGKAT DAN BENTUK AKAR

A. Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Jika  (bilangan real) dan n adalah bilangan bulat maka bilangan  (dibaca a pangkat n) didefinisikan sebagai perkalian berualang a sebanyak n kali (faktor).

 disebut bilangan berpangkat, a disebut bilangan pokok, dan n disebut pangkat (eksponen).

Contoh :

Nyatakan bilangan-bilangan berpangkat berikut dalam perkalian berulang, kemudian hitunglah.

a. 25            d. (0,5)4

b. (–3)2         e. (–4)3

Jawab :

a.  25  = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 =  32

b.  (–3)2 = (–3) x (–3) = 9

c.  (0,5)4 = (0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5) = 0,0625

d.  (–4)3 = (–4) × (–4) × (–4) = –64

B. Perkalian dan Pembagian Bilangan Berpangkat

a. Perkalian Bilangan Berpangkat

misalnya, 42 x 43 = (4 x 4) x (4 x 4 x 4)

    = 4 x 4 x 4 x 4 x 4

    = 42+3

    = 45

Maka, untuk perkalian bilangan berpangkat yang memiliki bilangan pokoknya sama, berlaku sifat:

b. Pembagian Bilangan Berpangkat

Misalnya, 

    = 5 x 5 

    = 56-4

    = 52

Maka, pada pembagian bilangan berpangkat yang memiliki bilangan pokoknya sama, berlaku sifat:

C. Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Misalnya, (23)2  = (23) x (23)

 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2)

 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

 = 26

Maka, pada pemangkatan bilangan berpangkat yang memiliki bilangan pokoknya sama, berlaku sifat:

D. Pangkat dari bentuk Perkalian dan Pembagian

a. Pangkat dari Bentuk Perkalian

Misalnya, (2 x 3)3  = (2 x 3) x (2 x 3) x (2 x 3)

     = (2 x 2 x 2) x (3 x 3 x 3)

     = 23 x 33

Maka, pada pemangkatan bilangan dari bentuk perkalian, berlaku sifat:

b. Pangkat dari bentuk Pembagian

Misalnya, 

 

 

Maka, pada pemangkatan bilangan dari bentuk pembagian, berlaku sifat:

E. Sifat penjumlahan dan pengurangan bilangan berpangkat

Misalnya, 

1. 24 +  26 =  24 +  24+2

 =  24 +  24.22

 =  24 (1 + 22)

2. (–5)4 + (–5)6  = (–5)4 +  (–5)4+2

= (–5)4 +  (–5)4.(–5)2

= (–5)4 (1+ (–5)2)

 Maka, pada pemangkatan penjumlahan dan pengurangan bilangan berpangkat, berlaku sifat :

F.Bilangan Berpangkat Bulat Negative dan Bilangan Berpangkat Nol

a. Bilangan Berpangkat Bulat Negative

Maka, akan terjadi jika :

Maka, akan berlaku

b. Bilangan Berpangkat Nol

maka akan terjadi

Maka akan berlaku

G. Bentuk Akar

a. Pengertian Bentuk Akar

Diketahui bahwa pada perhitungan akar kuadrat sebagai berikut :

Jika suatu akar tidak memiliki definisi seperti diatas, maka merupakan bentuk akar. Perhatikan contoh dibawah ini.

1.  Ini bukan bentk akar, karena memiliki hasil yaitu 8 

2.  adalah bentuk akar karena tidak ada bilangan real positif yang jika dikuadratkan hasilnya 40

b. Sifat - sifat menyederhanakan bentuk akar

Sebuah bentuk akar dapat dituliskan sebagai perkalian dua buah akar pangkat bilangan. Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh berikut.

Maka, sifat yang terbentuk adalah

H. Penjumlahan dan Pengurangan (pecahan)

Contoh :

Maka, berlaku sifat 

I. Perkalian dan Pembagian (pecahan)

Contoh :

Maka berlaku sifat

J. Merasionalkan Penyebut Pecahan

a. Merasionalkan Penyebut Pecahan 

Contoh :

Maka, berlaku sifat:

b. Merasionalkan penyebut pecahan 

   

Contoh :

c. Merasionalkan Penyebut Pecahan 

Contoh :

  

 

 

BAB 2 

         BARISAN DAN DERET

Pola Bilangan Ganjil

Salah satu dari himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan ganjil. Bilangan ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 atau bukan kelipatan dua. Dalam hal ini karena pembahasan hanya pada himpunan bagian dari bilangan asli, maka anggota dari himpunan bilangan asli ganjil adalah {1, 3,5, 7, 9, . . . }.

Berikut merupakan pola pada bilangan ganjil :

- Penjumlahan dari 2 bilangan asli ganjil yang pertama

        1 + 3 = 4 → 4 =  22

- Penjumlahan dari 3 bilangan asli ganjil yang pertama

        1 + 3 + 5 = 9 → 9 = 32

- Penjumlahan dari 4 bilangan asli ganjil yang pertama

        1 + 3 + 5 + 7 = 16 → 16 = 42

- Penjumlahan dari 5 bilangan asli ganjil yang pertama

        1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 → 25 = 52

Contoh :

1. Tentukan jumlah dari 7 bilangan asli ganjil yang pertama.

Penyelesaian :

Tujuh bilangan asli ganjil yang pertama adalah: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, dan n = 7.

Jumlah dari 7 bilangan asli ganjil yang pertama = n2 = 72 = 49.

Jadi, jumlah dari 7 bilangan asli ganjil yang pertama adalah 49.

2. Berapa banyaknya bilangan asli yang pertama yang jumlahnya 144 ?

Penyelesaian :

Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama = n2

Sehingga 144 = n2

→ n = 12 atau n = - 12(tidak memenuhi)

Jadi, banyaknya bilangan ganjil adalah 12.

Pola Bilangan Genap

Selain bilangan ganjil, yang termasuk himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan genap, yaitu { 2 , 4 , 6 , 8 , . . . }.

Berikut merupakan pola pada bilangan genap:

- Penjumlahan dari 2 bilangan asli genap yang pertama

        2 + 4 = 6 → 6 = 2 (2+1)

- Penjumlahan dari 3 bilangan asli genap yang pertama

        2 + 4 +6 = 12 → 12 = 3( 3+ 1)

- Penjumlahan dari 4 bilangan asli genap yang pertama

        2 + 4 +6 + 8 = 20 → 20 = 4( 4+ 1)

Contoh :

1. Tentukan jumlah 8 bilangan asli genap yang pertama.

Penyelesaian :

Delapan bilangan asli genap yang pertama adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. → n = 8 

Jumlah 8 bilangan asli genap yang pertama = n ( n + 1)

= 8 ( 8 + 1)

= 8 × 9

= 72

Jadi, Jumlah 8 bilangan asli genap yang pertama 72.

2. Tentukan banyak bilangan asli genap yang pertama yang jumlahnya 121.

Penyelesaian :

Jumlah n bilangan asli genap adalah n (n + 1), maka:

n(n+1) = 121

n2 + n - 121 = 0

(n - 10) (n +11) = 0

n - 10 = 0 atau n +11 = 0

n =10 atau n =11 (tidak memenuhi)

Jadi, banyak bilangan asli genap adalah 10.

Pola Bilangan Segitiga Pascal

Penjumlahan bilangan-bilangan pada setiap baris dalam segitiga pascal, akan diperoleh hasil yang menunjukkan barisan bilangan. Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan pada setiap baris pada segitiga pascal berikut.

Maka dapat dinyatakan bahwa jumlah bilangan pada baris ke-n adalah

Contoh :

Berapakah jumlah bilangan pada segitiga pascal pada baris ke-10. 

Penyelesaian :

Jumlah bilangan adalah Sn = 2n-1

  = 210-1

  = 29

  = 512

Jadi, jumlah bilangan segitiga pascal pada baris ke-10 adalah 512.

ARITMATIKA

A. Baris Bilangan

Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut.

a.  2, 4, 6, 8

b.  1, 3, 5, 7, ...

c.  3, 6, 9, 12, 15, ...

Jika kamu perhatikan, bilangan-bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun mengikuti pola tertentu. Bilangan-bilangan tersebut disebut barisan bilangan . Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan . Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un.

Pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, diperoleh

U1 = suku ke-1 = 2

U2 = suku ke-2 = 4

U3 = suku ke-3 = 6

U4 = suku ke-4 = 8

Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8 memiliki 4 buah suku.

B. Baris Aritmatika

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Perhatikan uraian berikut.

• 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22

Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 3 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika

• 8, 4, 0, -4, -8, -12, -16, -20

Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih -4 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika

Dari kedua uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmetika memiliki beda (sering dilambangkan dengan b) yang tetap. Jika b bernilai positif maka barisan aritmetika itu dikatakan barisan aritmetika naik. Sebaliknya, Jika b bernilai negatif maka barisan aritmetika itu disebut barisan arimetika turun.

Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut.

U1, U2, U3, U4, U5, U6,........, Un-1, Un

Dari barisan tersebut diperoleh

U1 = a (suku pertama dilambangkan dengan a)

U2 = U1 + b = a + b

U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b

U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

......

Un = Un-1 + b = (a + (n-2)b) + b = a + (n-1)b

Jadi, rumus ke-n barisan aritmatika dapat ditulis sebagai berikut :

Dan beda suatu baris aritmatika dinyatakan sebagai berikut:

Contoh :

Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut.

       10, 13, 16, 19, 22, 25, .... Tentukan :

a. jenis barisan aritmetikanya,

b. suku kedua belas barisan tersebut.

Jawab :

a. Untuk menentukan jenis barisan aritmetika, tentukan nilai beda pada barisan tersebut.

    b =  U2 - U1

       = 13 − 10 = 3

   Oleh karena b > 0, barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik.

b. Untuk mencari suku kedua belas ( ), dilakukan cara sebagai berikut.

    Un = a + (n − 1)b  maka  U12 = 10 + (12 − 1) 3

         = 10 + 11 x 3

         = 10 + 33 = 43

Jadi, suku kedua belas barisan tersebut adalah 43.

C. Deret Bilangan

Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut.

   2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., Un

Barisan bilangan tersebut jika dijumlahkan akan menjadi

   2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + ... + Un

Bentuk seperti ini disebut deret bilangan. Jadi, deret bilangan adalah jumlah suku-suku suatu barisan bilangan. Sebagaimana halnya barisan bilangan, deret bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmetika dan deret geometri.

D. Deret Aritmatika

Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika maka

Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmetika adalah sebagai berikut.

Oleh karena Un = a + (n-1)b , rumus tersebut dapat ditulis sebgai berikut.

Contoh :

Diketahui deret aritmetika : 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... + U10 . Tentukan:

a. suku kesepuluh ( U10 ) deret tersebut,

b. jumlah sepuluh suku pertama ( S10 ).

Jawab :

Diketahui : a = 3 dan b = 4

a. Un = a + (n – 1) b maka U10 = 3 + (10 – 1) 4

= 3 + 9 x 4

= 3 + 36

= 39

    Jadi, suku kesepuluh deret tersebut adalah 39.

 maka 

   

   = 210

   Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 210

GEOMETRI

A. Baris Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antar dua suku barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antar suku barisan disebut rasio (dilambangkan dengan r). Artinya, suku barisan ditentukan oleh perkalian atau pembagian oleh suatu bilangan tetap dari suku barisan sebelumnya.

Perhatikan baris bilangan berikut :

-  3, 6, 12, 24, 48, 96, 192

  Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.

-  

  Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu  . Berarti, bilangan tersebut merupakan barisan geometri.

Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki rasio tetap. Jika r bernilai lebih besar dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri naik. Adapun jika r lebih kecil dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri turun.

Perhatikan barisan bilangan geometri berikut :

U1, U2, U3, U4, U5, U6,........, Un-1, Un

Dari barisan tersebut diperoleh

U1 = a

U2 = U1 × r = a × r = ar

U3 = U2 × r = (a × r) × r = ar2

U4 = U3 × r = (a × r2) × r = ar3

…

Un = Un-1 × r = (a × r n-2 ) × r = ar n-1

Jadi, untuk mencari suku ke-n baris geometri digunakan rumus :

Untuk mencari rasio pada baris geometri dinyatakan sebagai berikut :

Contoh Soal :

Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 

   

Tentukan suku kesepuluh dari barisan tersebut.

Jawab :

Dengan rasio  , suku kesepuluh barisan tersebut adalah

Un = ar n-1

     

     

     

Jadi, suku ke sepuluh baris tersebut adalah 

B. Deret Geometri

Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama deret geometri maka 

Sn = U1, U2, U3, U4, U5, U6,......, Un-1, Un 

     

Kemudian, 

Jadi, rumus jumlah suku-suku deret geometri dapat dinyatakan sebagai berikut.

  atau  

Contoh :

Diketahui barisan geometri : 3, 6, 12, 24, 48, ...,Un . Tentukan suku ketujuh ( U7 )

dan jumlah tujuh suku pertamanya (S7).

Jawab :

- Menentukan suku ketujuh

  Un = ar n-1 maka U7 = ar6

  = 3 x 26 = 3 x 64 = 192

  Jadi, suku ketujuhnya adalah 192.

- Menentukan jumlah tujuh suku pertamanya.

    maka 

  Jadi, jumlah tujuh suku pertamanya adalah 381.

BAB 3 

                                    PELUANG

Dasar-Dasar Peluang

Pada percobaan pelemparan sebuah mata uang logam di atas, hasil yang dapat terjadi adalah muncul angka (A) atau gambar (G). Selanjutnya apabila semua hasil percobaan yang mungkin terjadi dihimpun dalam suatu himpunan; yaitu S, maka himpunan tersebut dapat dituliskan S = { A, G}. Himpunan S ini biasa disebut dengan ruang sampel, sedangkan anggota-anggota himpunan yaitu A dan G biasa disebut sebagai titik-titik sampel. Peristiwa munculnya angka atau gambar pada percobaan pengetosan mata uang disebut dengan kejadian.

Cara menentukan ruang sample dari titik sample ada tiga, yaitu dengan mendatar, table, dan diagram pohon.

a. Menentukan ruang sample dengan mendatar

Dua keeping logam dilempar sekaligus, jika sisi yang muncul pada keeping pertama angka (A) dan pada keeping kedua gambar (G), maka ditulis AG. Kejadian lain yang mungkin muncul pada kedua uang logam tersebut adalah AA, GA, dan GG. Jika ruang sample ditulis secara mendatar, hasilnya adalah S = { AA, AG, GA, GG} dengan n (S) = 4.

b. Menentukan ruang sample dengan table.

Untuk menentukan ruang sample dengan tabel pada percobaan pelemparan dua uang logam sekaligus, diperlukan tabel yang terdiri atas 3 kolom dan 3 baris. Berikut cara pengisian tabel tersebut.

Jadi, ruang samplenya adalah S = { AA, AG, GA, GG} dengan n (S) = 4.

c. Menentukan ruang sample dengan diagram pohon

Berikut merupakan cara menentukan ruang sample menggunakan diagram pohon pada percobaaan pelemparan 2 uang logam secara bersamaan.

Jadi, ruang samplenya adalah S = { AA, AG, GA, GG} dengan n (S) = 4.

Nilai Peluang Secara Teoritis

Peluang suatu kejadian adalah rasio antara cacah anggota kejadian dengan cacah anggota sample. Dapat dinyatakan dengan rumus :

Contoh :

Dua dadu bermata enam dilempar bersama. Berapa peluang muncul mata dadu berjumlah 7 ?

Jawab :

Dengan cara membuat daftar kita dapat menentukan ruang sampel kejadian pelemparan dua mata dadu bermata enam sebagai berikut :

S = {(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1), (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4),(6,5),(6,6)}

Dengan demikian n(S) = 36. Selanjutnya, misalkan A menyatakan himpunan dari kejadian munculnya mata dadu berjumlah 7 maka dapat kita daftar sebagai berikut 

A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

Dengan demikian n(A) = 6. Oleh karena itu peluang kejadian muncul mata dadu berjumlah 7 adalah :

Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan dari suatu kejadian ialah harapan banyaknya muncul suatu kejadian yang diamati dari sejumlah percobaan yang dilakukan.

dengan P(K) = peluang kejadian K

 N = banyaknya percobaan

Contoh :

Sebuah dadu dilempar keatas sebanyak 36 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu bernomor 3 ? 

Penyelesaian :

Misalkan, K = kejadian munculnya mata dadu bernomor 3

sehingga P(K) = 

banyaknya lemparan 36 kali

   Fh = P(K) × 36

Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu bernomor 3 dari 36 kali pelemparan adalah 6 kali.